[미적분] 8. 미분계수와 도함수

 

*저는 전문가가 아닙니다. 틀린 부분이 있을 수 있습니다*

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권장사항: (7편) https://themathematics.tistory.com/16

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뉴턴의 유율법은 분명히 굉장히 획기적인 방법이였지만 치명적인 오류가 있었죠. 바로 수학적으로 엄밀하지 않다는 것입니다. 그 문제를 보완하며 등장한 것이 바로 그 이름도 유명한 '미분계수'입니다.

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순간변화율(미분계수)

 

우선 유율법의 어느 부분에서 오류가 있는지를 확인해야 했습니다. 말할 것도 없이 무한소 O죠. '0에 한없이 가깝긴 한데 진짜 0은 아니고 0처럼 간주하기도 하는 그것'이란 표현이 문제였으니까요.

 

그런데 이 표현.... 어디서 보지 않았나요? '0에 한없이 가깝다'라는 표현은 우리가 분명히 본 적이 있습니다. 네 그렇습니다. 바로 '극한'입니다.

 

극한은 고맙게도 코시가 이미 엄밀하게 정의해 놓았죠.(엡실론-델타 논법으로요. https://themathematics.tistory.com/9) 그럼 극한을 사용하면 수학적으로 엄밀한 유율법을 완성할 수 있겠네요.

 

이제 적용해봅시다. 유율법은 알다시피 '한 점에서의 변화율'을 구하는 것이죠. 유율법에서는 거의 한 점처럼 보이는 두 점을 사용합니다. 극한을 이용하면, B라는 점이 A라는 점에 한없이 가까워지는 것으로 표현할 수 있습니다.

일반적인 평균변화율은 이렇게 생겼죠.

$$ \frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$

 

여기서 b가 a에 한없이 가까워지므로,

$$ \lim_{ b \to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$

 

라고 쓸 수 있겠죠. 그런데 우리가 b라는 문자는 주로 상수로 사용하고 변수로 사용하지는 않으니까, 그냥 익숙한 X를 써 줍시다.

$$ \lim_{ x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} $$

 

이 값을, X가 a가 되는 순간의 변화율이라고 해서 '순간변화율'이라고 합니다. 그리고 '미분계수'라고도 부르죠.

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도함수

 

이제 순간변화율을 가지고 모든 점에서의 변화율을 구할 수 있게 되었습니다. 그런데 한가지 문제가 있습니다. 순간변화율을 구할 때마다 번거롭게 극한식을 계산해야 하는 것이였죠. 그래서 순간변화율의 변화를 나타내는 함수를 만들기로 했습니다. 그러면 함수에 X값만 대입하면 구할 수 있으니까요.

 

순간변화율의 정의를 한번 봅시다.

$$ \lim_{ x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} $$

 

함수로 쓰면 a가 변수가 되므로,

$$ g(a)=\lim_{ x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} $$

 

로 쓸 수 있습니다. 그런데 a는 보통 고정된 수, 즉 상수로 쓰고 변수는 주로 X로 표기합니다. 그래서 X를 a로 바꾸려고 보니... X가 이미 있습니다. 그러면 어쩔 수 없이 바꾸지 않고 그대로 써야 하겠죠. 

 

하지만 저렇게 써 놓으면 수학적으로는 아무 오류가 없으나 그냥 보기 불편합니다. 그래서 수학자들은 다른 식을 쓰기로 했습니다. 평균변화율은 저거 하나만 있는 게 아니니까요. 

 

평균변화율의 정의를 다시 봅시다.

$$ \frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$

 

알다시피 평균변화율에는 '변화율'에 초점을 맞춘 다른 정의가 있죠.

$$ \frac{f(x+ \Delta X)-f(x)}{\Delta X} $$

 

순간변화율은 두 점이 한 점으로 모일 때의 평균변화율이므로, 두 점 사이의 거리가 0일 때의 평균변화율과 같습니다. 고로, 

$$ \lim_{ \Delta X \to 0}\frac{f(x+ \Delta X)-f(x)}{\Delta X} $$

 

입니다. 이제 함수로만 나타내면 됩니다.

$$ g(x)=\lim_{ \Delta X \to 0}\frac{f(x+ \Delta X)-f(x)}{\Delta X} $$

 

$ \Delta X $가 쓰기 귀찮으니 그냥 h로 쓰기도 합니다.

$$ g(x)=\lim_{ h \to 0}\frac{f(x+ h)-f(x)}{h} $$

 

이렇게 변수 X에 따른 순간변화율의 변화를 나타내는 함수를 '도함수'라고 하고, $ f'(x) $로 표기합니다. 즉, 

$$ f'(x)=\lim_{ h \to 0}\frac{f(x+ h)-f(x)}{h} $$

 

그리고 어떤 함수가 도함수가 되도록 하는 연산을 '미분'이라고 합니다. (이해를 돕기 위해 미분을 이렇게 정의했지만 실제 미분의 정의는 이게 아닙니다. 하지만 진정한 미분의 정의는 선형대수학을 알아야 하므로 '미분의 정의는 이게 아니지만 어쨌든 주요 성질은 이렇다' 라는 것을 유념하시면 좋겠습니다. 온갖 곳에서 튀어나오는 선형대수학의 위엄)

 

다음 글에서는 다항함수의 미분법에 대해 알아보도록 하겠습니다.