[미적분] 9. 다항함수의 미분법

*저는 전문가가 아닙니다. 틀린 부분이 있을 수 있습니다*

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권장사항: (8편) https://themathematics.tistory.com/17

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드디어 미분을 위한 기나긴 준비가 끝났습니다. (라고 하기엔 너무 대충 설명한 것 같지만...) 이제는 다항함수를 미분해 볼 차례입니다.

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$ y=x^n $의 미분

 

가장 기본적인 형태는 $ y=x^n $이죠. 우선 도함수의 정의부터 불러옵시다.

$$ f'(x)=\lim_{ h \to 0}\frac{f(x+ h)-f(x)}{h} $$

 

$ f(x)=x^n $이라고 하면,

$$ f'(x)=\lim_{ h \to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h} $$

 

아.... 그런데 우리에겐 안타깝게도 극한식을 보자마자 답을 내뱉는 능력이 없습니다. 게다가 $ (x+h)^n $을 전개할 재간도 없고요.

 

이런 경우에 수학에서는 간단한 것부터 차근차근 해나가서 규칙을 찾는 방법을 사용합니다.

$ n=1 $을 대입해 보면,

$$ f'(x)=\lim_{ h \to 0}\frac{(x+h)-x}{h} =\lim_{ h \to 0}\frac{h}{h}=1 $$

 

'1'이라는 깔끔한 상수로 답이 나오네요. 그럼 다음으로 $ n=2 $를 대입해봅시다.

$$ f'(x)=\lim_{ h \to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h} =\lim_{ h \to 0}\frac{2xh+h^2}{h}=\lim_{ h \to 0}(2x+h)=2x $$

 

이번엔 2x가 튀어나왔습니다.  $ n=3 $도 대입해보면,

$$ f'(x)=\lim_{ h \to 0}\frac{(x+h)^3-x^3}{h} =\lim_{ h \to 0}\frac{3x^2h+3xh^2+h^3}{h}=\lim_{ h \to 0}(3x^2+3xh+h^2)=3x^2 $$

 

4를 대입 하고 끔찍한 계산을 해보면,

$$ f'(x)=\lim_{ h \to 0}\frac{(x+h)^4-x^4}{h} =\lim_{ h \to 0}\frac{4x^3h+6x^2h^2+4xh^3+h^4}{h}=\lim_{ h \to 0}(4x^3+6x^2h+4xh^2+h^3)=4x^3 $$

 

이제 규칙이 어느 정도 보입니다. 단도직입적으로 미분법만 말하면 다음과 같습니다.

$ f(x)=x^n $일때, $ f'(x)=nx^{(n-1)} $

 

아주 쉽고 귀여운 공식이 나왔습니다. 증명은 인수분해를 활용한 방법이 하나 있는데 계산이 너무 복잡해서 생략하고 향후 글에서 간단한 증명을 알려드리겠습니다.

 

한번 미분을 시도해보면 더 쉽습니다. $ y=x^7 $을 미분해봅시다.

$ n=7 $이니까, 대입만 해 주면 됩니다.

$ y'=7x^{7-1}=7x^6 $

 

벌써 미분이 끝났네요. (참고로 y'은 f'(x)의 다른 표현입니다. 이 외에도 $ \frac{dy}{dx} $로 표기하기도 합니다.)

위에 있는 차수를 앞으로 끌고 와서 쓰고, 차수 하나 빼 주면 끝입니다.

 

$ y=x $를 미분하면 깔끔한 상수 1로 떨어지는 것도 미분해보면 알 수 있습니다.

$ n=1 $이므로 대입하면 $ y'=1x^0=1 $

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실수배의 미분법

 

그럼 $ y=2x $는 미분하면 뭐가 될까요? 우리 모두 2가 되는 것을 예측할 수 있습니다. 실제로도 2고요. 증명해 보자면, 

$ g(x)=cf(x) $라고 하면, 

$$ g'(x)=\lim_{ h \to 0}\frac{cf(x+ h)-cf(x)}{h}=cf'(x) $$

 

입니다. 즉 $ y=2x $는 $ y=2*x $이므로 도함수도 $ y'=2*1=2 $인 것이죠. (이를 실수배의 미분법이라고 합니다.)

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상수함수의 미분법

 

마지막으로 상수함수까지 미분해봅시다.

$ y=k $라고 하면,

$$ y'=\lim_{ h \to 0}\frac{k-k}{h}=0 $$

네, 0이 나옵니다. 이로써 모든 상수함수를 미분하면 0이 나온다는 결론을 끌어낼 수 있습니다.

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다음 글에서는 사칙연산으로 결합된 함수의 미분법을 알아보도록 하겠습니다.

 

 

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