[미적분] 11. 연쇄법칙

*저는 전문가가 아닙니다. 틀린 부분이 있을 수 있습니다*

*모바일에서 수식이 잘리는 경우 밀어보면 더 많은 수식을 볼 수 있습니다.*

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권장사항: 1. (9편) https://themathematics.tistory.com/18

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더욱 복잡한 미분

 

합차, 곱, 몫의 미분법까지 알면 이제 우리는 모든 다항함수를 미분할 수 있게 된 것입니다. 심지어는,

$$y=\frac{x+3}{x^2+2x+9}$$

같은 함수도, 약간의 계산노가다를 곁들이면 풀 수 있죠.

 

그럼, 문제 한번 내 보겠습니다.

$y=(x+2{)}^2$을 미분하면?

이 정도야 쉽죠. 전개하면 $x^2+4x+4$니까 이걸 미분해도 되고, 아니면 곱의 미분법을 사용해도 됩니다.

 

하지만 이렇게 바꾼다면 얘기가 달라지겠죠.

$y=(x+2{)}^{10}$

$(x+2{)}^{10}$을 암산으로 전개할 수 있는 천재적인 두뇌가 있거나, 곱의 미분법을 10번 사용할 수 있는 용기가 있지 않은 이상, 이런 함수를 미분하기는 힘들 겁니다.

 

이런 함수를 미분할 수 있도록 도와주는 강력한 도구가 바로 '연쇄법칙'입니다.

연쇄법칙은 다항함수의 미분에서 계산노가다를 줄여주는 역할을 하는 것이지요.

뿐만 아니라 지수함수나 삼각함수 등 다른 함수에 다항함수가 합성되어 있는 형태도 미분할 수 있게 해줍니다.

 

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 연쇄법칙

 

그 강력한 법칙은 어떻게 생겼을까요.

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}$

 

마치 분수끼리 곱할 떄 약분해도 된다는 것처럼 보이지 않나요? 도대체 왜 이런 형태의 법칙이 나오게 되는 거고, 저 정체불명의 $\frac{dy}{dx}$는 뭘까요? 당연히 이해가 되지 않을 겁니다. 이 법칙을 이해하기 위해서는, '미분형식'이라는 개념에 대한 이해가 필요합니다.

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미분형식

 

아마 고등학교 2학년에 나오는, '수학 II' 교과서를 펼쳐보신 분이라면, 미분계수와 도함수 챕터에서 이런 문장을 발견할 수 있을 것입니다.

"도함수를 f'(x), y', $\frac{dy}{dx}$ 등으로 표기한다.'

 

하지만 저는 미분계수와 도함수를 설명할 때 f'(x) 와 y'은 언급했지만 $\frac{dy}{dx}$는 언급하지 않았습니다. 왜냐하면 이건 단순히 도함수를 표기하는 게 아니거든요.

 

그럼 도대체 뭐냐. 저게 바로 미분형식입니다.

 

미분형식의 정의는 이렇습니다.

$$\frac{dy}{dx}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$$

 

이 식, 어디서 많이 보지 않았나요? 제가 평균변화율에 대해 설명할 때 이런 식을 언급한 적 있습니다. $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$는 평균변화율을 뜻한다고요. 거기에 극한이 씌워져, $\mathrm{\Delta }x$가 0으로 가니, 저게 한 점에서의 평균변화율을 뜻할 것이고, 그러면 결국 순간변화율을 뜻한다는 결론이 나오게 됩니다. 아아, 그러니까 미분형식은 결국 순간변화율이었던 것이죠. 그래서 도함수를 미분형식으로 표기하기도 하는 것입니다.

 

그런데 왜 도대체 저런 길고 귀찮은 표기를 사용하는 걸까요? $y^{\prime }$이 훨씬 간단한데 말이죠. 미분형식을 굳이 사용하는 이유는 '무엇을, 무엇에 대해 미분하는지' 확실히 알 수 있기 때문입니다.

 

기본적으로, 미분이란 연산은 문자가 같을 때만 할수 있습니다. $x^2$이란 함수를 미분해서 $2x$가 되려면 반드시 'x'에 대해 미분해야 합니다. 그리고 x에 대해 미분할 때는 $y^2$따위의 함수는 미분할 수가 없습니다. 지금은 크게 느끼지 못하겠지만 식이 복잡하고 문자가 많아질수록 '무엇을, 무엇에 대해' 미분하는지에 대한 중요성은 커집니다. 그럴 때 그런 정보를 전혀 제공하지 않는 $y^{\prime }$같은 기호는 불편하겠죠.

 

미분형식을 뜯어보면 '무엇을, 무엇에 대해 미분하는지' 에 대한 많은 정보를 얻을 수 있습니다. 미분형식의 형태를 보면 분자 부분과 분모 부분에 각각 d가 있고, 그 뒤에 문자가 있습니다. 미분형식은, '분자 쪽 식'을 '분모 쪽 문자'로 미분하는 것입니다. 즉 $\frac{dy}{dx}$는 y를 x에 대해 미분하란 뜻입니다.

 

'그런데 y는 x에 대해 미분할 수 없지 않나요?' 네, 맞습니다. 그래서 우리는 y=? 꼴의 관계식을 대신 미분해주는 겁니다.

 

미분형식을 이해했으니 연쇄법칙을 다시 써 봅시다.

 

$y$를 $x$에 대해 미분한 결과는, $y$를 $u$에 대해 미분한 결과와 $u$를 $x$에 대해 미분한 결과의 곱과 같다. 

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연쇄법칙의 적용

 

그래도 이해가 되지 않습니다. 저걸 도대체 어디에 써먹을 수 있을까요?

 

사실 연쇄법칙은 '치환'에 관련된 법칙입니다. 이제 이해가 좀 되시나요?

연쇄법칙은, y를 x에 대해 미분할 때 $x$를 $u$로 치환해서 미분하면 무슨 작업을 해줘야 하는지를 다루고 있는 것입니다.

 

잘 이해가 되지 않으면, 연쇄법칙을 적용할 수 있는 가장 대표적인 사례인 '합성함수의 미분'을 살펴봅시다.

 

$y=f(g(x))$라는 함수가 있습니다. 이 함수를 그냥 미분할 수는 없으니, $x$를 $u$로 치환하는 겁니다. 그러면 $y=f(u)$라는 함수가 되겠죠. 이 함수를 미분하면 어떤 결과가 나올까요? $y^{\prime }=f^{\prime }(u)$? 그렇다면 $y=f(g(x))$를 미분한 결과는 $y=f^{\prime }(g(x))$가 되는 걸까요?

 

바로 이런 상황을 해결하는 것이 연쇄법칙입니다. 연쇄법칙을 한번 적용해 봅시다.

 

$g(x)$를 $u$로 치환하는 것은 똑같습니다. 그 다음, 연쇄법칙에 의하면 $y$를 $x$에 대해 미분한 것은 $y$를 $u$에 대해 미분한 것에다가 $u$를 $x$에 대해 미분한 것을 곱한 값입니다.

 

$y$를 $x$에 대해 미분한 것은 $y=f(g(x))$ 를 미분하는 것이고, 바로 우리가 원하는 결과입니다. $y$를 $u$에 대해 미분하는 것은 $y=f(u)$를 미분한 결과라는 뜻이고, $u$를 $x$에 대해 미분하라는 것은 $u=g(x)$라는 식을 미분하라는 것과 같습니다.

 

$y=f(u)$를 미분하면 $y^{\prime }=f^{\prime }(u)=f^{\prime }(g(x))$입니다. $u=g(x)$를 미분하면 $u=g^{\prime }(x)$가 나오고요. 연쇄법칙에 의하면, $y=f(g(x))$을 미분한 값은, $f^{\prime }(g(x))\times g^{\prime }(x)$와 같습니다. 즉 합성함수의 미분에서 다음 등식이 성립하는 것입니다.

 

$y=f(g(x))$일때, $y^{\prime }=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)$

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연쇄법칙의 증명

 

내친김에 증명까지 해 봅시다.

 

우선 도함수의 정의를 이용해서 합성함수를 미분할 겁니다. 역시나 $f(x)$대신에 $f(g(x))$를 넣으면 됩니다.

 

$$\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\times \frac{g(x+h)-g(x)}{h}$$

 

$g(x+h)-g(x)$를 $t$로 치환해줍니다. (그럼 h가 0으로 갈 때 t 역시 0으로 갑니다. $g(x+h)=t+g(x)$이고요.)

 

$$\underset{t\to 0}{lim}\frac{f(t+g(t))-f(g(t))}{t}\times \underset{h\to 0}{lim}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)$$

 

우리가 연쇄법칙을 통해 구한 것과 같은 결과 나왔습니다. 즉 도함수의 정의와 연쇄법칙으로 각각 구한 결과값이 같으므로, 연쇄법칙이 성립한다고 할 수 있습니다.

 

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연쇄법칙은 정말, 정말로 중요한 법칙입니다. 고급 미분에 자주 쓰이거든요. 꼭 기억해주셨으면 합니다.

혹시 잘 이해가 되지 않으신다면, 위의 예제 $(x+2{)}^{10}$을 한번 풀어보세요. 이 법칙을 직접 써보면 이해가 더 쉽습니다.

합성함수의 미분법도 매우 자주 쓰일 예정이니 그 형태를 꼭 기억해주시기 바랍니다. 바깥쪽을 미분하고, 알맹이를 미분한 것을 곱한 형태입니다.

 

다음 글에서는 음함수의 미분법에 대해 알아보겠습니다.