R수학연구소

*저는 전문가가 아닙니다. 틀린 부분이 있을 수 있습니다* 권장사항: (8편) https://themathematics.tistory.com/17 드디어 미분을 위한 기나긴 준비가 끝났습니다. (라고 하기엔 너무 대충 설명한 것 같지만...) 이제는 다항함수를 미분해 볼 차례입니다. $ y=x^n $의 미분 가장 기본적인 형태는 $ y=x^n $이죠. 우선 도함수의 정의부터 불러옵시다. $$ f'(x)=\lim_{ h \to 0}\frac{f(x+ h)-f(x)}{h} $$ $ f(x)=x^n $이라고 하면, $$ f'(x)=\lim_{ h \to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h} $$ 아.... 그런데 우리에겐 안타깝게도 극한식을 보자마자 답을 내뱉는 능력이 없습니다. 게다가 $ (x+h)^n..

*저는 전문가가 아닙니다. 틀린 부분이 있을 수 있습니다* 권장사항: (7편) https://themathematics.tistory.com/16 뉴턴의 유율법은 분명히 굉장히 획기적인 방법이였지만 치명적인 오류가 있었죠. 바로 수학적으로 엄밀하지 않다는 것입니다. 그 문제를 보완하며 등장한 것이 바로 그 이름도 유명한 '미분계수'입니다. 순간변화율(미분계수) 우선 유율법의 어느 부분에서 오류가 있는지를 확인해야 했습니다. 말할 것도 없이 무한소 O죠. '0에 한없이 가깝긴 한데 진짜 0은 아니고 0처럼 간주하기도 하는 그것'이란 표현이 문제였으니까요. 그런데 이 표현.... 어디서 보지 않았나요? '0에 한없이 가깝다'라는 표현은 우리가 분명히 본 적이 있습니다. 네 그렇습니다. 바로 '극한'입니다. ..

*저는 전문가가 아닙니다. 가볍게 이해하고 넘어가는 느낌으로 보시는 것을 추천합니다* *틀린 부분이 있을 수 있습니다* 권장사항: (6편) https://themathematics.tistory.com/15 지난 글에서 평균변화율에 대해 설명하면서 '한 점에서의 변화율'을 구하기 위한 것이라고 했습니다. 그럼 '한 점에서의 변화율'은 어떻게 구할까요? 평균변화율은 기껏해야 두 점 사이의 변화율밖에 구할 수 없습니다. 이때 나타난 사람이 뉴턴입니다. 뉴턴은 '유율법'을 개발했고, 한 점의서의 변화율을 구하는 방법을 처음 제시했습니다. 무한소 O (오미크론) 뉴턴이 가장 먼저 제시한 것은 무한소 O(오미크론) 입니다. O(오미크론)을 보면 뭐가 먼저 생각나나요? 네, 0과 매우 닮았습니다. 덕분에 굉장히 헷..

*저는 전문가가 아닙니다. 가볍게 이해하고 넘어가는 느낌으로 보시는 것을 추천합니다* *틀린 부분이 있을 수 있습니다* 권장사항: (5편) https://themathematics.tistory.com/14 혹시 미분의 목적이 무엇인지 아시나요? 미분을 이해하려면 미분의 목적을 아는 것이 굉장히 중요합니다. 그리고, 결론부터 말하자면, 미분의 목적은 '변화율'입니다. 평균변화율 수학자들은 오래전부터 '그래프의 변화'를 굉장히 궁금해했습니다. 그런데 안타깝게도 그래프의 변화는 그렇게 쉽게 알 수 있는 것이 아닙니다. 이차함수를 예로 들어 봅시다. 우리는 포물선을 굉장히 당연하게 생각하고 그리지만 만약 포물선의 형태라는 것을 모른다면? 직선인지 곡선인지, 곡선이면 급한지 완만한지, 급하면 얼마나 급한지 따질..

*저는 전문가가 아닙니다. 가볍게 이해하고 넘어가는 느낌으로 보시는 것을 추천합니다* *틀린 부분이 있을 수 있습니다* 권장사항: (4편) https://themathematics.tistory.com/10 극한의 계산 이제 극한의 정의도 다 알아봤겠다, 계산할 차례입니다. 극한의 계산은 뭔가 엄청나게 새롭거나 그런 것들은 없습니다. 우리가 평소 하던 대로 계산하면 됩니다. 먼저 $ x \to 1 $일때 $ f(x)=x $의 극한을 구해봅시다. 역시 그래프를 그리는 게 가장 쉽죠. X가 1로 갈 떄 $ f(x) $는 1로 가니 답은 1입니다. 고로, $$ \lim_{x \to 1}f(x)=1 $$ 입니다. 하지만 식이 복잡해질수록 그래프는 그리기 힘들어집니다. 그래서 '연속함수의 정의'를 이용하는 쉬운 ..

*저는 전문가가 아닙니다. 가볍게 이해하고 넘어가는 느낌으로 보시는 것을 추천합니다* *틀린 부분이 있을 수 있습니다* 권장사항: 1편: https://themathematics.tistory.com/7 2편: https://themathematics.tistory.com/8 3편: https://themathematics.tistory.com/9 함수의 연속 지구상에는 수많은 종류의 함수가 있습니다. 그중에는 예쁘게 하나로 이어지는 함수가 있는가 하면, 괴랄하게도 중간에 끊어지고 사라지고 뒤틀리는 함수도 있습니다. 안타깝게도 대부분이 후자입니다. 수학자들은 이러한 함수들을 분류할 필요를 느끼고 새 개념을 만들었습니다. 그것이 바로 '연속'입니다. 연속함수가 뭐냐면, 끊어지지 않고 예쁘게 이어지는 함수입..

*저는 전문가가 아닙니다. 가볍게 이해하고 넘어가는 느낌으로 보시는 것을 추천합니다* *틀린 부분이 있을 수 있습니다* 권장사항: 1편: https://themathematics.tistory.com/7 2편: https://themathematics.tistory.com/8 함수의 극한 함수의 극한은 수열의 극한과 크게 다르지 않습니다. 다른 것 하나가 있다면, 수열은 N이 한없이 커질 때만 다루지만 함수는 전 구간을 다룬다는 것입니다. 전 구간이라고 해 봐야 별로 어려운 게 없습니다. $$ \lim_{x \to a}f(x) = \alpha $$ 수열의 극한에서 본 것과 매우 유사하게 생겼습니다. 뜯어보면 내용도 별로 다르지 않습니다. $ lim $은 극한을 뜻하는 'limit'의 첫 세글자입니다. 극..

*저는 전문가가 아닙니다. 가볍게 이해하고 넘어가는 느낌으로 보시는 것을 추천합니다* *틀린 부분이 있을 수 있습니다* 권장사항: 수열의 극한 (애매모호 Ver.) https://themathematics.tistory.com/7 애매한 정의 앞서 극한의 '한없이' 라는 표현이 애매모호하다고 했습니다. 그것이 극한의 핵심 개념인데 말이죠. 이에 수학자들이 이 문제를 해결하기 위해 극한을 재정의하기로 했다고도 했습니다. 코시와 한없음의 정의 바로 이때 등장한 수학자가 오귀스탱 루이 코시입니다. (코시-슈바르츠 부등식의 그 분 맞습니다.) 코시는 우선 '한없이'부터 정의해야 한다고 생각했습니다. 코시가 생각한 '한없이'는 다음과 같습니다. 1) 한도 $ \varepsilon $을 제시합니다. 2) 한도 $ ..