[미적분] 7. 유율법

*저는 전문가가 아닙니다. 가볍게 이해하고 넘어가는 느낌으로 보시는 것을 추천합니다*
*틀린 부분이 있을 수 있습니다*

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권장사항: (6편) https://themathematics.tistory.com/15

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지난 글에서 평균변화율에 대해 설명하면서 '한 점에서의 변화율'을 구하기 위한 것이라고 했습니다. 그럼 '한 점에서의 변화율'은 어떻게 구할까요? 평균변화율은 기껏해야 두 점 사이의 변화율밖에 구할 수 없습니다. 이때 나타난 사람이 뉴턴입니다. 뉴턴은 '유율법'을 개발했고, 한 점의서의 변화율을 구하는 방법을 처음 제시했습니다.

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무한소 O (오미크론)

 

뉴턴이 가장 먼저 제시한 것은 무한소 O(오미크론) 입니다. O(오미크론)을 보면 뭐가 먼저 생각나나요? 네, 0과 매우 닮았습니다. 덕분에 굉장히 헷갈립니다. 실제로 O(오미크론)의 정의는 0과 굉장히 관련히 있는데요, O(오미크론)의 정의는 '0에 한없이 가까운, 매우 짧은 시간'입니다.

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유율법

 

이제 곡선을 그려봅시다. 그리고 한 점 A도 잡아줍니다. 

다음으로는 A가 X축으로 p의 속력으로, Y축으로 q의 속력으로 O(오미크론)초 간 이동한 점을 B라고 잡아 줍니다. 

A의 좌표를 (a, b)라고 하면 B의 좌표는 (a+Op,b+Oq)겠죠. 

둘이 거의 한 점처럼 보이는데요, O(오미크론)이 매우 짧기 때문에 이동한 거리가 매우 짧아서 그럽니다.

이에 착안해서 뉴턴은 이런 생각을 하게 됩니다.

 

'A와 B는 한 점이나 다름없다' $\to$ 'A와 B사이의 평균변화율은 한 점 A에서의 변화율과 다름없다'

 

그럼 어디 A와 B사이의 평균변화율을 구해봅시다. 평균변화율은 (Y증가량)/(X증가량) 이니까,

$$\frac{b-b-Oq}{a-a-Oq}=\frac{Op}{Oq}=\frac{q}{p}$$
겠네요. 고로 q/p만 구하면 되는 겁니다.

 

예시로, $y=x^2$에서 점 (1,1)에서의 변화율을 구해봅시다.

한 점 A에서의 변화율은 A(1,1)과 B(1+Op,1+Oq) 사이의 평균변화율과 같습니다. 그런데 A도 B도 곡선 위를 움직이므로 $y=x^2$위의 점입니다.

그렇다면 다음이 성립합니다.

 

$(1+Op{)}^2=1+Oq$

 

전개하면,

 

$1+2Op+O^2{p}^2=1+Oq$

 

가 됩니다. 양변에서 1을 빼면

 

$2Op+O^2{p}^2=Oq$

 

가 되겠죠. $O^2$이 거슬리니 O(오미크론)으로 나눠줍시다. 그런데 나누기 전에 항상 주의할 것이 있습니다. '0으로 나누기'가 정의되지 않기 때문에 양변을 0으로 나눌 수는 없습니다. 다행이도 O(오미크론)은 0에 한없이 가까울 뿐 0은 아니니 나눌 수 있습니다.

 

$2p+O{p}^2=q$

 

우리가 구해야 할 변화율은 q/p입니다. 그런데 위 방정식을 잘 살펴보면, 양변을 p로 나누면 우변에 q/p가 나타나는 것을 확인할 수 있습니다. 그럼 p로 나눠줍시다.

 

$2+Op=\frac{q}{p}$

 

그런데... 아까 O(오미크론)은 0에 한없이 가까운 수라고 했습니다. 그러면 0이나 다름없는 수죠. 따라서 O(오미크론)을 0으로 간주할 수 있습니다. 그러니까,

 

$\frac{q}{p}=2$

 

이고, 점 A(1,1)에서의 변화율은 2입니다.

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비판

 

이 방법은 신기하기도 하지만 한편으로는 이해할 수 없는 부분이 있습니다. 우선 O(오미크론)을 이해할 수 없죠. '완전히 0은 아닌데 0으로 간주하기도 하고 하여튼 0에 한없이 가까운 수'라는 뉴턴의 사고는 수학적으로 전혀 엄밀하지 않습니다. 당연히 당시 수학자들은 이 부분을 비판했죠. 그리고 유율법의 아이디어는 인정하지만 더 엄밀한 풀이를 요구했습니다.

 

이 유율법이 더욱 엄밀해진 것이 바로 '미분계수'입니다. 다음 글에서는 미분계수에 대해 다루도록 하겠습니다.