[미적분] 6. 평균변화율

*저는 전문가가 아닙니다. 가볍게 이해하고 넘어가는 느낌으로 보시는 것을 추천합니다*
*틀린 부분이 있을 수 있습니다*

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권장사항: (5편) https://themathematics.tistory.com/14

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혹시 미분의 목적이 무엇인지 아시나요? 미분을 이해하려면 미분의 목적을 아는 것이 굉장히 중요합니다. 그리고, 결론부터 말하자면, 미분의 목적은 '변화율'입니다.

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평균변화율

 

수학자들은 오래전부터 '그래프의 변화'를 굉장히 궁금해했습니다. 그런데 안타깝게도 그래프의 변화는 그렇게 쉽게 알 수 있는 것이 아닙니다.

 

이차함수를 예로 들어 봅시다. 우리는 포물선을 굉장히 당연하게 생각하고 그리지만 만약 포물선의 형태라는 것을 모른다면? 직선인지 곡선인지, 곡선이면 급한지 완만한지, 급하면 얼마나 급한지 따질 것이 매우 많습니다.

 

그런데 변화를 알 수 있는 매우 간단한 그래프가 있습니다. 바로 '직선'이죠. 직선은 쭉 긋기만 하면 되니까요.

심지어 직선은 얼마나 변하는지, 즉 '변화율'도 쉽게 알 수 있습니다. 직선의 변화율은 뭘까요? 바로 기울기입니다.

 

수학자들은 기울기에서 착안해서, 곡선의 변화율도 같은 방법으로 표현할 수 있을 것이라고 생각했습니다. 그래서 나온 것이 평균변화율이죠.

기울기와 같은 방법으로 구하려면 기울기를 구하는 법을 알아야겠죠. 기울기는 어떻게 구하나요? 중학교 1학년 수업을 제대로 들은 사람이라면 쉽게 구할 수 있습니다.

$$ \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $$

그렇습니다. 기울기는 (y증가량) / (x증가량)이고, 식은 위와 같이 쓰죠.

 

평균변화율도 똑같습니다.

곡선 위의 두 점 $ (a,f(a)) $와 $ (b,f(b)) $에 대하여 평균변화율은
$ \frac{f(b)-f(a)}{b-a} $이다.

아니면, '증가량'에 초점을 맞추는 방법도 있습니다.

X증가량은 $ \Delta X $로 표기하고, Y증가량은 $ \Delta Y $라고 표시합니다. ($ \Delta $는 '델타'라고 읽고, '차이'를 의미합니다. 즉 $ \Delta X $는 X값의 차이죠.) 그러면 평균변화율은 (y증가량) / (x증가량)이므로

$$ \frac{\Delta Y}{\Delta X} $$

입니다. 너무 간단해서 실망하셨다면 $ \Delta Y $를 $ f(a+ \Delta X)-f(a) $로 바꿔서 쓸 수 있습니다. (위 그래프를 보세요.  y값의 차이는 곧 함숫값의 차이입니다.)

$$ \frac{f(a+ \Delta X)-f(a)}{\Delta X} $$

 

 

 

그런데 평균변화율에는 문제가 있습니다. 우선 정확한 변화율을 구할 수가 없습니다. 평균변화율이 같다고 해서 같은 곡선인 것은 아니니까요. 그리고 더 치명적인 문제로는, 쓸모가(...) 없습니다. 정확하지 않으니 써먹을 곳도 없는 것이죠.

 

하지만 수학자들이 아무 쓸모도 없는 것을 그냥 만들었을 리 없습니다. 사실 애초에 평균변화율이 고안된 이유는 평균변화율 자체를 써먹기 위한 것이 아니라 접선의 기울기를 구하기 위함입니다. 갑자기 접선을 왜 구하냐? 당시 수학자들은 접선이 모이고 모여서 곡선이 된 거라고 생각했습니다. 이러한 관점에서 접선을 구하기 위한 연구가 진행되었죠. 

 

그리고 페르마라는 사람이 '접선의 기울기가 그 점에서 곡선이 변화하는 정도다' 라는 생각을 하게 되면서 한 점에서의 변화율을 구하기 위한 시도를 하게 됩니다. 그러나 한 점에서의 변화율을 구하기가 어려우니, 두 점에서의 변화율을 이용해보자 라는 관점에서 생겨난 것이 평균변화율입니다.

 

미분은 인류가 2000년간 고민한 결과인 만큼 그냥 이해되는 것이 아닙니다. 그래서 이런 역사를 알아두는 것이 이해에 꽤 큰 도움이 됩니다.