[미적분] 4. 함수의 연속

*저는 전문가가 아닙니다. 가볍게 이해하고 넘어가는 느낌으로 보시는 것을 추천합니다*
*틀린 부분이 있을 수 있습니다*

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권장사항: 1편: https://themathematics.tistory.com/7
             2편: https://themathematics.tistory.com/8
             3편: https://themathematics.tistory.com/9

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함수의 연속

지구상에는 수많은 종류의 함수가 있습니다. 그중에는 예쁘게 하나로 이어지는 함수가 있는가 하면, 괴랄하게도 중간에 끊어지고 사라지고 뒤틀리는 함수도 있습니다. 안타깝게도 대부분이 후자입니다.
수학자들은 이러한 함수들을 분류할 필요를 느끼고 새 개념을 만들었습니다. 그것이 바로 '연속'입니다.

연속함수가 뭐냐면, 끊어지지 않고 예쁘게 이어지는 함수입니다.

 

보통 점 $ x=a $에서 연속이 되려면 3가지 조건을 만족해야 합니다.

 

1) $ f(x) $가 존재합니다.

2) $ x=a $에서 극한값이 존재합니다.

3) 극한값과 함숫값이 같습니다.

 

사실 얘들은 연속이면 갖는 자명한 성질입니다. 1번부터 보면, 당연히 $ f(x) $가 함숫값을 가지고 있지 않으면 중간에 사라지는 형태의 그래프가 나타나게 됩니다. 아래에 그 예시가 있습니다.

불연속 1

위 그래프를 보면 X=0에서의 함숫값이 없습니다. 그러므로 연속이 아닙니다. 그리고 연속이 아닌 함수를 당연히 불연속이라고 부릅니다.

 

2번 조건을 보면 극한값이 있어야 합니다. 이 역시 당연하죠. 극한값이 없다는 것은 좌극한과 우극한이 다르다는 뜻이고, 그러면 이런 온갖 괴랄한 형태의 그래프가 튀어나오게 됩니다.

한번 써먹었던 그래프 재탕

이 함수는 보나마나 불연속입니다. $ x=2 $에서 극한값이 없으니까요.

 

3번 조건은, 직관적으로 이해가 안 될 수도 있는데 역시 자명합니다. '극한값이 있으면 이어지는 거 아니야?' 라고 생각할 수 있지만 멀쩡한 극한값과 달리 함숫값이 동떨어져 있을 수도 있거든요.

불연속2.

이 함수는 $ x=0 $에서의 함숫값이 혼자 동떨어져 있습니다. 이런 함수를 연속이라고 말하기에는 무리가 있겠죠.

 

여하튼 이 3가지 조건을 만족하면 $ x=a $에서 연속이라고 하고, 모든 점 a에서 연속인 함수를 연속함수라고 합니다.

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열린구간과 닫힌구간

 

그런데 함수들 중에서는 특정 범위에서는 연속이고 나머지 범위에서는 아닌 함수들이 있습니다. 이런 함수들을 표현하기 위해 만들어진 것이 '구간'입니다.

 

구간은 이미 알고 있습니다. 1초과 3 미만이면 1<X<3 이렇게 쓰는 것과 똑같죠. 다만 기호가 달라질 뿐입니다.

$ a \le x \ge $이면 $ [a,b] $라고 쓰고, 닫힌구간 a,b 혹은 폐구간 a,b 라고 합니다.

그럼 $ a<x<b $일때는 $ (a,b) $라고 쓰고 열린구간 a,b나 개구간 a,b라고 하겠죠.

그런데 만약에 $ a \le x<b $면 어떡할까요? 이럴 땐 $ [a,b) $라고 쓰고 반개구간 a,b라고 합니다.

 

아까 썼던 함수를 데려와 봅시다

이 함수는 $ x=0 $에서는 불연속이지만 나머지 모든 구간에서는 연속입니다. 즉 $ (-\infty,0) $과 $ (0,\infty) $에서 연속이죠. ($ \infty $는 항상 열린구간으로 표시합니다)

 

함수의 연속은 이게 전부입니다. 다음 글에서는 극한을 계산하는 법을 다루겠습니다.