[미적분] 3. 함수의 극한(엡실론-델타 논법)

*저는 전문가가 아닙니다. 가볍게 이해하고 넘어가는 느낌으로 보시는 것을 추천합니다*
*틀린 부분이 있을 수 있습니다*

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권장사항: 1편: https://themathematics.tistory.com/7
              2편: https://themathematics.tistory.com/8

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함수의 극한

함수의 극한은 수열의 극한과 크게 다르지 않습니다. 다른 것 하나가 있다면, 수열은 N이 한없이 커질 때만 다루지만 함수는 전 구간을 다룬다는 것입니다.
전 구간이라고 해 봐야 별로 어려운 게 없습니다.
$$ \lim_{x \to a}f(x) = \alpha $$
수열의 극한에서 본 것과 매우 유사하게 생겼습니다. 뜯어보면 내용도 별로 다르지 않습니다.
$ lim $은 극한을 뜻하는 'limit'의 첫 세글자입니다. 극한을 구하겠다는 뜻이죠.
$ x \rightarrow a $는 X가 a에 가까워진다는 뜻입니다.
$ f(x) $는 당연히 $ f(x) $의 극한을 구한다는 것이고, $ \alpha $는 결과값이 $ \alpha $라는 뜻입니다.
합치면, $ \lim_{x \to a}f(x)= \alpha $는 X가 a에 가까워져가면, $ f(x) $의 극한은 $ \alpha $라는 뜻입니다.

예시를 한 번 봅시다.

이 함수는 $ y=2x $입니다. 이때 만약
$$ \lim_{x \to 1}2x $$
를 구하고 싶다고 칩시다. 위 그래프를 잘 살펴보면, x가 1로 갈 때 Y는 2로 간다는 것을 알 수 있습니다. 고로
$$ \lim_{x \to 1}2x=2 $$
이겠죠.

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좌극한과 우극한

하지만 안타깝게도 모든 함수가 이렇게 예쁘게 생긴 건 아닙니다. 지구상에는 괴랄한 함수들이 아주 많습니다.

괴랄한 함수 1.

이 함수에서,

$$ \lim_{x \to 2}f(x) $$

를 구할 때는 어떻게 할까요?

먼저 2보다 작은 쪽, 그러니까 왼쪽을 봅시다. $ x $가 2로 가면 $ f(x) $역시 2로 갑니다. 고로 2죠.

그런데 2보다 큰 쪽, 즉 오른쪽에서는 $ f(x) $가 1로 갑니다. 그럼 1이겠죠.

당연히 한 함수에 극한값이 두 개일 수는 없는 법. 그래서 이런 극한은 못 구합니다.

대신 다가오는 방향을 왼쪽과 오른쪽, 두개로 나누면 구할 수 있습니다.

 

왼쪽에서 다가오는 건 '좌극한'이라고 부르고, 이렇게 표기합니다.

$$ \lim_{x \to 2-}f(x)=2 $$

오른쪽에서 다가오는 건 당연히 '우극한'이라고 하고, 이렇게 표기합니다.

$$ \lim_{x \to 2+}f(x)=1 $$

 

보통 극한이 존재한다는 것은 좌극한과 우극한이 수렴하며, 그 값이 같아야 합니다. 위 그래프는 좌극한과 우극한이 다르므로 극한값이 존재하지 않는 겁니다.

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입실론-델타 논법

 

그런데 극한에도 문제가 있습니다. 개념이 애매하다는 거죠. 그래서 우리의 코시가 또 한번 극한을 엄밀하게 정의해줍니다. 이를 $ \varepsilon-\delta $논법 이라고 합니다.

 

극한을 정의하는 방법은 수렴과 비슷합니다.

1) x가 a에 다가감을 보인다

2) 그때 함숫값도 극한값 L에 다가감을 보인다.

 

$ \varepsilon-N $논법과 같은 방법으로 수식으로 정리하면,

임의의 양수 $ \varepsilon $에 대하여 적당한 양수 $ \delta $가 존재하여, $ 0<|x-a|<\delta $이면 $ |f(x)-L|<\varepsilon $일때, 
$$ \lim_{x \to a}f(x)=L $$이라고 정의한다.

예시가 준비되었으니 한번 봅시다

from 위키피디아

위키피디아에도 나오는 유명한 사진입니다. 보시면 점 C로부터 거리가 $ \delta $인 점, 점 L로부터 거리가 $ \varepsilon $인 점이 표시되어 있습니다. 이때 $ c-\delta $와 $ c+\delta $사이에 점 X를 머릿속으로 찍어봅시다. 그럼 점 X의 함숫값은 어디 있을까요? $ L-\varepsilon $과 $ L+\varepsilon $ 사이에 있을 것입니다. X를 $ c-\delta $와 $ c+\delta $사이에만 찍으면, X가 어디 있든지간에 상관이 없습니다.

즉 C와의 거리가 $ \delta $보다 작으면, 다시 말해 $ |x-c|<\delta $이면 함숫값과 L의 차이가 $ \varepsilon $보다 작아집니다. $ |x-c|<\delta $이면 $ |L-f(x)|<\varepsilon $인 셈이죠.

$ \varepsilon $의 크기도 아무 상관이 없습니다. 그에 맞춰 $ \delta $가 움직이면 되니까요. 이게 바로 '임의의 양수 $ \varepsilon $에 대하여 적당한 $ \delta $가 존재하여~'의 뜻입니다.

 

이제 극한이 엄밀하게 정의되었습니다.

 

하나 추가로, 수열의 극한에서 $ x \to n $와 같은 꼴을 다루지 않는 이유는 $ \delta $가 1보다 작아질 수 없기 때문입니다.(정수에서만 정의되니까요) 애초에 X가 N에 한없이 다가갈 수 없으니 극한을 생각할 수 없는 겁니다.