[미적분] 1. 수열의 극한 (애매모호 Ver.)

*저는 전문가가 아닙니다. 가볍게 이해하고 넘어가는 느낌으로 보시는 것을 추천합니다*
*틀린 부분이 있을 수 있습니다*

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권장사양: 수열

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'미적분'이라고 하는 학문은, 인류 지식의 결정체이며 수학의 꽃입니다. 단 하나의 문제가 있다면 매우 어렵다는 것(...)이죠. 이 시리즈에서는 이 어려운 개념이 무엇인지 설명하는 것이 목표입니다.

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극한

그 미적분을 알기 위해서 필요한 것이 바로 극한입니다. 극한이란, 변수가 특정 값에 가까워지면 결과값이 어디로 가는지를 알아보는 기호입니다.
$$ \lim_{n \to \infty}a_n $$
극한은 이렇게 생겼습니다.
$ lim $는 '한없이'의 뜻을 가지고 있습니다. 극한을 뜻하는 limit의 약자죠.
$ n $은 변수이고, $ \to $는 가까워진다는 뜻이며, $ \infty $는 당연히 무한대입니다. 합치면 N이 무한대로 가까워질때, 즉 무한히 커질 때라는 뜻입니다.
마지막으로 $ a_n $은 변화를 살펴볼 대상입니다.
그러면 전부 합치면 이 식의 의미는 다음과 같습니다.
'n이 무한히 커질 때, $ a_n $은 어디로 가는가?'

극한이 $ n \to \infty $만 있는 것은 아닙니다. 특정 값으로 다가가는 형태도 있죠. 하지만 수열의 극한에서는 $ n \to \infty $만을 다룹니다. 이유는 함수의 극한을 배우고 나면 알 수 있습니다.

하여튼간에 극한은 N에 따른 $ a_n $의 변화를 알아보는 기호입니다. 이때 $ a_n $이 변화하는 방식은 크게 3가지로 구분됩니다.

발산(Divergence)

다음 수열을 봅시다.
$$ {a_n}=n $$
굉장히 간단하고 예쁘게 생긴 수열입니다.
N이 엄청나게 커질 때, $ {a_n} $이 어디로 가는지 살펴보면 쉽게 점점 커진다는 사실을 알 수 있습니다. 어디까지 커질까요? 무한히 커지죠. 좌표계로 보면,

자료 없어서 직접 그림

처럼 생겼습니다. 반대로 무한히 작아지는 수열도 있습니다. 예를 들어 $ {a_n}=-n $ 같은 수열이죠. 역시 좌표계에 표시하면,

얘도 자료 없어서 직접 그림

이렇게 나옵니다.

이처럼 무한히 커지거나 작아지는 형태를 '발산'이라고 합니다.

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수렴(Convergence)

하지만 수열 중에는 무한히 커지거나 작아지는 형태만 있는 것이 아닙니다. 다음 수열을 봅시다.
$$ b_n=(\frac{1}{2})^n $$
이 수열은, N이 무한히 커지면 점점 작아집니다. 하지만 끝없이 작아지지는 않습니다. N이 아무리 커져도 0에 가까이만 가고, 0보다 작아지지 않습니다. 좌표로 확인해봅시다.

역시나 자료 없어서 직접 그림

이처럼 특정 수에 가까이 가는 형태를 '수렴'이라고 합니다.

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진동(Oscillation)

마지막으로 $ C_n=(-1)^n $이라고 합시다. 그러면 이 수열은 1과 -1이 번갈아 나타납니다. 이 친구도 좌표를 찍어보면,

얘마저도 자료 없어서 직접 그림

이 상태가 됩니다. 이건 특정 수에 가까워지지도, 무한히 커지거나 작아지지도 않으니 수렴하지도 않고, 발산하지도 않습니다.

이처럼 수렴하지도, 발산하지도 않는 상태를 진동한다고 하고, 보통은 발산의 일부로 간주합니다.

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'애매한' 정의

그런데 이 정의를 살펴보면 매우 허술합니다. 특히 '한없이'라는 표현이 굉장히 애매모호합니다. 그래서 수학자들 사이에서 엄청난 혼란이 야기되었고, 정확하고 '엄밀한' 정의가 필요해졌습니다.

수열의 극한의 엄밀한 정의는 다음 글에 설명하도록 하겠습니다.