[미적분] 5. 극한의 계산

*저는 전문가가 아닙니다. 가볍게 이해하고 넘어가는 느낌으로 보시는 것을 추천합니다*
*틀린 부분이 있을 수 있습니다*

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권장사항: (4편) https://themathematics.tistory.com/10

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극한의 계산

이제 극한의 정의도 다 알아봤겠다, 계산할 차례입니다. 극한의 계산은 뭔가 엄청나게 새롭거나 그런 것들은 없습니다. 우리가 평소 하던 대로 계산하면 됩니다.

먼저 $x\to 1$일때 $f(x)=x$의 극한을 구해봅시다.

역시 그래프를 그리는 게 가장 쉽죠. X가 1로 갈 떄 $f(x)$는 1로 가니 답은 1입니다. 고로,
$$\underset{x\to 1}{lim}f(x)=1$$
입니다.

하지만 식이 복잡해질수록 그래프는 그리기 힘들어집니다. 그래서 '연속함수의 정의'를 이용하는 쉬운 방법이 있습니다.
'연속함수의 정의'가 뭐였죠? 1)극한값이 존재하고, 2)함숫값이 존재하고, 3)극한값과 함숫값이 같다.

3번 조건에 주목하면, 연속함수의 극한값은 함숫값과 같습니다. 즉,

$f(x)$가 연속이면, $\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)$ 이다

입니다.

계산하기는 어렵지 않겠죠. 대입만 하면 되니까요. 예시를 한번 보겠습니다.

$$\underset{x\to 1}{lim}x=1$$
아까 그 식입니다. 연속함수니까 X에 1만 대입하면 됩니다.  그러면 답은 1입니다. 참 쉽죠?

또 연속함수의 성질로부터  자명한 성질 몇개가 도출됩니다. (심심하시면 직접 증명해보세요. 연속함수의 정의로만 증명할 수 있습니다.)

$f(x),g(x)$가 연속일 때,

$$\underset{x\to a}{lim}(f(x)+g(x))=\underset{x\to a}{lim}f(x)+\underset{x\to a}{lim}g(x)$$
$$\underset{x\to a}{lim}(f(x)-g(x))=\underset{x\to a}{lim}f(x)-\underset{x\to a}{lim}g(x)$$
$$\underset{x\to a}{lim}(f(x)g(x))=\underset{x\to a}{lim}f(x)\underset{x\to a}{lim}g(x)$$
$$\underset{x\to a}{lim}\frac{(f(x)}{g(x)}=\frac{\underset{x\to a}{lim}f(x)}{\underset{x\to a}{lim}g(x)}$$

마지막 나누기는 당연히 0이 아닌 수로 나누어야 합니다. 즉 $$\underset{x\to a}{lim}g(x)\ne 0$$ 입니다.

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$\frac{0}{0}$ 꼴의 극한

그런데 안타깝게도 세상엔 연속이 아닌 함수가 많습니다. 다음 극한을 봅시다.
$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2}{x}$$
알다시피 그래프를 그리면,

이고, 엡실론 델타 논법을 사용하면 그 극한값은 0입니다. 하지만 매번 그래프를 그리고 입실론-델타 논법을 사용해 극한을 구하는 것은 귀찮기 짝이 없습니다.

그래서 다음 방법을 사용합니다.

$\frac{0}{0}$ 꼴의 극한에서는 분모와 분자를 인수로 나눈다.

무슨 소리냐... 예시를 한번 봅시다.
$$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-6x+9}{x-3}=\underset{x\to 3}{lim}\frac{(x-3{)}^2}{x-3}=\underset{x\to 3}{lim}(x-3)=0$$
분모 분자에 한번 3을 넣어보면 $\frac{0}{0}$이 나오는 것을 알 수 있습니다. 그러면 어떻게 해야 하나? 인수분해해서 분모와 분자를 나누는 것입니다. 위 식에서는 $x-3$을 나눠줬습니다. 이제 대입만 하면 끝입니다. 대입하면 분모는 1, 분자는 0이 되어 답을 구할 수 있게 되었죠.

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$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ 꼴의 극한

$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$는 어렵지 않습니다. 이 극한에서는,
$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x}=0$$
을 이용합니다.

$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$꼴의 극한에서는 분모와 분자를 각각 최고차항으로 나눈다

예시를 봅시다
$$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x-6}{x}=\underset{x\to 3}{lim}\frac{1-\frac{6}{x}}{1}=\frac{1-0}{1}=1$$
이 식에서는 분모와 분자를 최고차항 X로 나눠주었습니다. 그러면 뒤에 여러 복잡한 항들을 전부 0으로 보내버리고 쉽게 계산할 수 있습니다.

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물론 이것만 가지고 모든 극한을 계산하기에는 무리이다만, 적어도 다항함수를 미분하는데 필요한 극한의 계산은 갖추게 되었습니다.