[미적분] 10. 합차, 곱, 몫의 미분법

*저는 전문가가 아닙니다. 틀린 부분이 있을 수 있습니다*

*모바일에서 수식이 잘리는 경우 밀어보면 더 많은 수식을 볼 수 있습니다.*

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권장사항: (9편) https://themathematics.tistory.com/18

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합차, 곱, 몫의 미분법이라.... 말 그대로 이런 함수의 미분법입니다.

$$y=f(x)+g(x)$$

$$y=f(x)-g(x)$$

$$y=f(x)g(x)$$

$$y=\frac{f(x)}{g(x)}$$

어렵지 않습니다. 귀찮을 뿐

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합차의 미분법

 

결론부터 말하자면, 이렇습니다.

 

$y=f(x)\pm g(x)$ 일때,  $y^{\prime }=f^{\prime }(x)\pm g^{\prime }(x)$

 

우와. 참으로 당연한 결론이 나왔습니다. 너무 쉽게 예측이 가능한, 외울 필요도 없는 간단한 공식이죠. 한번 적용해보면 더욱 쉽습니다. $y=x^2+x$를 한번 미분해봅시다.

우선 $x^2+x$를 갈라보면 $x^2$에 $x$를 더한 것입니다. 우리가 원하는 값은, 위의 공식에 따르면, 각각 미분한 후 더하기만 하면 끝입니다. 우선 다항함수의 미분법을 이용해 각각 미분해봅시다. $x^2$을 미분하면 $2x$이고, $x$를 미분하면 1입니다. 이제 더해줍니다. $2x+1$. 즉 $y^{\prime }=2x+1$인 것입니다.

너무 쉽죠? 이런 건 더 설명할 필요도 없습니다. 다만 안 하면 섭섭하니 증명은 해 주고 갑시다.

 

일단 미분계수의 정의를 불러옵시다.

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

 

이제 우린 $f(x)$대신에 $f(x)+g(x)$를 집어넣고, 결과가 $f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)$가 나오는 걸 지켜보면 됩니다. 

$$y^{\prime }=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)$$

 

쉽죠? 단순 연산이니만큼 따로 설명은 하지 않겠습니다. 마이너스일 때의 계산은 시간이 남아도실 때 한번 해보세요.

 

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곱의 미분법

 

한번 예상해 보세요. 곱의 미분법은 어떻게 생겼을까요? 

안타깝게도 곱의 미분법은,

$y=f(x)g(x)$ 일때,  $y^{\prime }=f^{\prime }(x)g^{\prime }(x)$

이렇게 생기지는 않았습니다. 

그럼 어떻게 생겼냐고요?

 

$y=f(x)g(x)$ 일때,  $y^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$

 

이렇게 생겼습니다. 직관적이지 않아 외우기 쉽지 않으시다면, 이렇게 보시면 편합니다. 두 함수의 곱의 미분법은,

(앞에 미분)X(뒤에 그대로)에 (앞에 그대로)X(뒤에 미분)입니다.

 

한번 $y=x^2$을 미분해봅시다.

물론 이런 건 당연히 $y=2x$지만, 곱의 미분법을 사용해서도 증명할 수 있습니다. $x^2$은 $x$에 $x$를 곱한 거니까요.

$y=x^2$을 미분하면,

앞에 (즉 $x$)를 미분한 1에 뒤에 (즉 $x$)를 곱한 값에다가, 앞에 (즉 $x$) 그대로 쓴 것에 뒤에 (즉 $x$) 를 미분한 1을 곱한 값을 더한 겁니다. 계산해 보면,

$y^{\prime }=1\times x+x\times 1=x+x=2x$

입니다. 

 

증명은... 설명은 하지 않고 적어만 놓겠습니다. 적는 것도 일 역시 $f(x)$ 대신에 $f(x)g(x)$를 대입하면 됩니다.

 

$$y^{\prime }=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}$$

$$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{g(x+h)(f(x+h)-f(x))+f(x)(g(x+h)-g(x))}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{g(x+h)(f(x+h)-f(x))}{h}+\frac{f(x)(g(x+h)-g(x))}{h}$$

$$=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$$

 

 

 

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몫의 미분법

 

'몫'이라는 것은, 나눗셈, 즉 분수꼴이라는 뜻입니다. 그러니까,

$y=\frac{f(x)}{g(x)}$

이렇게 생긴 함수를 말하는 것입니다.

 

이런 함수를 미분하면 조금 복잡한 결과가 나옵니다. 

$y=\frac{f(x)}{g(x)}$ 일 때, $y^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}$

 

 

이야. 굉장히 어려워 보입니다.

그런데 사실 잘 보면 분자 부분이 익숙하다는 사실을 발견할 수 있습니다. 곱의 미분법과 유사한 형태를 띄고 있죠. 다만 마이너스로 연결되었기 때문에 순서에 주의하셔야 합니다. 

분모는 뭐.... 간단하니 그냥 외울 수 있겠네요.

 

증명은, 역시나 똑같이 $f(x)$ 대신에 $\frac{f(x)}{g(x)}$를 대입하고 계산하시면 됩니다. 다만 이 방법은 엄청난 계산노가다를 요하므로(...) 저는 다른 방식으로 증명해보겠습니다.

 

우선 $\frac{1}{g(x)}$을 미분할 겁니다. $f(x)$ 대신에 $\frac{1}{g(x)}$을 집어넣으면 되겠죠.

$$y^{\prime }=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{g(x+h)}-\frac{1}{g(x)}}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{g(x)-g(x+h)}{hg(x)g(x+h)}=\frac{-g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}$$

(입력하는 것도 일이네요. 간단한 산수는 생략했습니다.)

 

그럼 이제, $\frac{f(x)}{g(x)}$를 $f(x)\times \frac{1}{g(x)}$로 쪼개놓고, 곱의 미분법을 사용합니다.

(시간이 남아도실 때 한번 계산해보세요. 그렇게 어렵진 않습니다.)

 

그렇게 계산하면 처음에 적은 그 식이 나옵니다. 이로써 증명완료.

 

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오늘은 수식이 참 많네요. 이 공식들은 여러 가지 미분에 요긴하게 쓰이니까 꼭 기억해두시면 좋을 것 같습니다.

 

다음 글에서는 '연쇄법칙' (영어로는 Chain Rule)에 대해 알아보겠습니다.