[밀레니엄 난제] 푸앵카레 정리 - (2) 다양체, 초입방체

*저는 전문가가 아닙니다. 가볍게 이해하고 넘어가는 느낌으로 보시는 것을 추천합니다*
*틀린 부분이 있을 수 있습니다*

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<글을 읽을 시 알아야 하는 내용>
위상동형 https://themathematics.tistory.com/2

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앞서 푸앵카레 정리에 등장한 외계어 중 위상동형을 해석했으니, 이제 나머지 외계어인 다양체를 해석할 차례입니다.

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다양체

사실 다양체는 정리할 것도 없습니다.
다양체란, 어떤 도형의 표면을 뜻하는 말입니다.
이해를 돕기 위해 예시를 보여드리겠습니다.

위 구에서 다양체는 구의 겉표면입니다. 정말 쉽죠?

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N차원 다양체

여기서 끝나면 좋겠지만 아쉽게도 다양체에는 차원이 있습니다.
위 구의 예시에서 보신 다양체는 2차원 다양체입니다.
구는 3차원 도형인데 왜 다양체는 2차원이냐고요? 왜냐하면 구의 표면을 펼치면 2차원 도형이 되기 때문입니다.

그렇다면 3차원 다양체는 당연히 4차원 도형의 표면일 것이고, 4차원 다양체는 당연히 5차원 도형의 표면일 것입니다.
즉 N차원 다양체는 (N+1)차원 다양체의 표면입니다.

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초입방체 (HYPERCUBE)

그럼 여기서 의문이 생깁니다.
"도대체 3차원 다양체는 어떻게 생겼을까?"
안타깝게도 인간은 미개한 3차원 동물. 4차원 도형을 상상할 수 없습니다.
하지만 다행히도 혹은 불행히도 수학자들이 고민해서 만들어 낸 4차원 도형이 있습니다.

초입방체 (=정팔포체)

여러분이 한번에 이해하지 못했다고 좌절하지 마세요. 인간은 한번에 이해하지 못하는 게 당연합니다.
초입방체를 잘 이해하지 못해도 괜찮습니다. 푸앵카레 정리를 이해하는 데 큰 지장은 없습니다.

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푸앵카레 정리

"단일연결인 3차원 다양체는 3차원 구면과 위상동형이다"

'단일연결'이라는 것은 구멍이 뚫려 있지 않다는 뜻입니다. 3차원 다양체는 4차원 도형의 표면이고, 3차원 구면은 4차원 구형의 표면이겠죠. 그렇다면 이렇게 쓸 수 있겠습니다.

"구멍이 뚫려 있지 않은 4차원 도형의 표면은 4차원 구의 표면과 위상동형이다."

혹시 잘 이해가 되지 않으신다면 차원을 하나 낮춰서 생각해 보면 이해가 빠릅니다.
구멍이 뚫려 있지 않은 연필, 와인잔 같은 3차원 도형들의 표면은 3차원 구의 표면과 위상동형임은 자명하기 때문입니다. (머릿속에서 한번 상상해보세요)
즉 푸앵카레 정리은 이렇듯 3차원에서는 자명한 성질이 4차원에서도 성립하는지 묻는 문제입니다.