[밀레니엄 난제] 푸앵카레 정리 - (1) 위상동형

*저는 전문가가 아닙니다. 가볍게 이해하고 넘어가는 느낌으로 보시는 것을 추천합니다*
*틀린 부분이 있을 수 있습니다*

---

"푸앵카레 정리"는 1904년 쥘 앙리 푸앵카레가 제시한 추측으로, 11억원이 걸린 밀레니엄 난제 중 하나로 선정된 문제입니다. 또한 유일하게 해결된 문제로, 2006년 그레고리 페렐만이 증명했습니다. 덕분에 페렐만은 11억원의 상금과 필즈상을 받게 되었지만 본인이 거절하였다고 하네요. 나 주지

본격적인 설명에 앞서서 정리의 내용을 들여다보면 다음과 같습니다.

  "단일연결인 3차원 다양체는 3차원 구면과 위상동형이다"  

뭔소리야.... 알아듣게 말해

그럼 설명을 시작하겠습니다.

---

위상수학

빨대의 구멍은 몇 개일까요? 수학적인 관점에서 보면 1개입니다.
왜냐하면 수학적으로 빨대는 도넛과 같기 때문이죠. 그리고 도넛은 확실히 구멍이 1개이니 빨대의 구멍은 1개입니다.

빨대와 도넛이 같아질 수 있는 이유는 '위상수학' 때문입니다. 위상수학은 원래는 매우 복잡한 개념이지만 가볍게 보고 넘어가도록 하겠습니다.

위상수학은 '크기'를 무시하는 기하학입니다. 다른 말로 하면 크기나 길이를 변형하는 것은 변형이라고 생각하지 않는 것입니다. 그 말은 모양은 같고 크기만 다른 두 도형을 같다고 취급한다는 뜻입니다.

사실 위상수학이 크기만 무시하는 것은 아닙니다. 위상수학은 '연결 방식'을 제외한 나머지 모든 것을 무시합니다. 쉽게 말해 연결된 방식만 같으면 같은 도형으로 취급한다는 것입니다.

위상수학에서 연결 방식을 알아보려면 2가지를 살펴보면 됩니다.
1. 구멍의 개수
2. 갈림길의 개수 (갈라지는 부분이 있는지 없는지, 있다면 몇 갈래로 갈라지는지)
다음 예시를 보겠습니다.

알파벳을 위상수학적 관점에서 분류한 표

위 표는 알파벳을 위상수학적으로 분류해 놓은 것입니다. 위에서부터 하나씩 살펴보면,

1번 도형은 구멍이 1개 있고 3갈래로 갈라지는 지점이 1개 있습니다. 이는 P도 마찬가지입니다
2번 도형은 구멍이 없고 갈라지는 지점 역시 없습니다. 이는 C, I, J, S.. 등도 마찬가지입니다.
(L, M등은 꺾이는 부분이 있으니 다르다고 생각하실 수 있는데 꺾이는 부분을 펴면 직선이 되니 같습니다.)
3번 도형은 구멍이 없고, 4갈래로 갈라지는 지점이 1개 있습니다. 이는 X도 마찬가지입니다.
4번 도형은 구멍이 1개 있고 3갈래로 갈라지는 점이 1개 있습니다. 이는 Q도 마찬가지입니다.
5번 도형은 구멍만 하나 있습니다. 이는 D, O도 마찬가지입니다.
6번 도형은 구멍이 없고 3갈래로 갈라지는 점이 1개 있습니다. 이는 E, F, G.. 등도 마찬가지입니다.
7번 도형은 구멍이 1개 있고 3갈래로 갈라지는 점이 2개 있습니다. 이는 A, R도 마찬가지입니다.
8번 도형은 구멍이 없고 3갈래로 갈라지는 점이 2개 있습니다. 이는 H, K도 마찬가지입니다.
9번 도형은 구멍이 있고 구멍을 가로지르는 선이 하나 있습니다. (위상수학에서는 이를 구멍 2개로 취급합니다.)
이는 B도 마찬가지입니다.

그렇다면 이제 빨대와 도넛이 같다는 것도 이해가 되실 겁니다. 빨대를 누르면 도넛이 되니까요.
또한 위상수학적으로는 도넛과 머그컵도 같습니다.

머그컵, 도넛, 빨대처럼 위상수학적으로 모양이 같은 도형을 "위상동형"이라고 합니다.