[미적분] 10. 합차, 곱, 몫의 미분법

미적분

[미적분] 10. 합차, 곱, 몫의 미분법

R,TI 2022. 8. 15. 22:19

*저는 전문가가 아닙니다. 틀린 부분이 있을 수 있습니다*

*모바일에서 수식이 잘리는 경우 밀어보면 더 많은 수식을 볼 수 있습니다.*

권장사항: (9편) https://themathematics.tistory.com/18

합차, 곱, 몫의 미분법이라.... 말 그대로 이런 함수의 미분법입니다.

$y = f (x) + g (x)$

$y = f (x) - g (x)$

$y = f (x) g (x)$

$y = \frac{f (x)}{g (x)}$

어렵지 않습니다. ~~귀찮을 뿐~~

합차의 미분법

결론부터 말하자면, 이렇습니다.

$y = f (x) \pm g (x)$ 일때, $y^{'} = f^{'} (x) \pm g^{'} (x)$

우와. 참으로 당연한 결론이 나왔습니다. 너무 쉽게 예측이 가능한, 외울 필요도 없는 간단한 공식이죠. 한번 적용해보면 더욱 쉽습니다. $y = x^{2} + x$ 를 한번 미분해봅시다.

우선 $x^{2} + x$ 를 갈라보면 $x^{2}$ 에 $x$ 를 더한 것입니다. 우리가 원하는 값은, 위의 공식에 따르면, 각각 미분한 후 더하기만 하면 끝입니다. 우선 다항함수의 미분법을 이용해 각각 미분해봅시다. $x^{2}$ 을 미분하면 $2 x$ 이고, $x$ 를 미분하면 1입니다. 이제 더해줍니다. $2 x + 1$ . 즉 $y^{'} = 2 x + 1$ 인 것입니다.

너무 쉽죠? 이런 건 더 설명할 필요도 없습니다. 다만 안 하면 섭섭하니 증명은 해 주고 갑시다.

일단 미분계수의 정의를 불러옵시다.

$f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

이제 우린 $f (x)$ 대신에 $f (x) + g (x)$ 를 집어넣고, 결과가 $f^{'} (x) + g^{'} (x)$ 가 나오는 걸 지켜보면 됩니다.

$y^{'} = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) + g (x + h) - f (x) - g (x)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} + \frac{g (x + h) - g (x)}{h} = f^{'} (x) + g^{'} (x)$

쉽죠? 단순 연산이니만큼 따로 설명은 하지 않겠습니다. 마이너스일 때의 계산은 시간이 남아도실 때 한번 해보세요.

곱의 미분법

한번 예상해 보세요. 곱의 미분법은 어떻게 생겼을까요?

안타깝게도 곱의 미분법은,

$y = f (x) g (x)$ 일때, $y^{'} = f^{'} (x) g^{'} (x)$

이렇게 생기지는 않았습니다.

그럼 어떻게 생겼냐고요?

$y = f (x) g (x)$ 일때, $y^{'} = f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)$

이렇게 생겼습니다. 직관적이지 않아 외우기 쉽지 않으시다면, 이렇게 보시면 편합니다. 두 함수의 곱의 미분법은,

(앞에 미분)X(뒤에 그대로)에 (앞에 그대로)X(뒤에 미분)입니다.

한번 $y = x^{2}$ 을 미분해봅시다.

물론 이런 건 당연히 $y = 2 x$ 지만, 곱의 미분법을 사용해서도 증명할 수 있습니다. $x^{2}$ 은 $x$ 에 $x$ 를 곱한 거니까요.

$y = x^{2}$ 을 미분하면,

앞에 (즉 $x$ )를 미분한 1에 뒤에 (즉 $x$ )를 곱한 값에다가, 앞에 (즉 $x$ ) 그대로 쓴 것에 뒤에 (즉 $x$ ) 를 미분한 1을 곱한 값을 더한 겁니다. 계산해 보면,

$y^{'} = 1 \times x + x \times 1 = x + x = 2 x$

입니다.

증명은... 설명은 하지 않고 적어만 놓겠습니다. ~~적는 것도 일~~ 역시 $f (x)$ 대신에 $f (x) g (x)$ 를 대입하면 됩니다.

$y^{'} = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) g (x + h) - f (x) g (x)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) g (x + h) - f (x) g (x + h) + f (x) g (x + h) - f (x) g (x)}{h}$

$= lim_{h \to 0} \frac{g (x + h) (f (x + h) - f (x)) + f (x) (g (x + h) - g (x))}{h} = lim_{h \to 0} \frac{g (x + h) (f (x + h) - f (x))}{h} + \frac{f (x) (g (x + h) - g (x))}{h}$

$= f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)$

몫의 미분법

'몫'이라는 것은, 나눗셈, 즉 분수꼴이라는 뜻입니다. 그러니까,

$y = \frac{f (x)}{g (x)}$

이렇게 생긴 함수를 말하는 것입니다.

이런 함수를 미분하면 조금 복잡한 결과가 나옵니다.

$y = \frac{f (x)}{g (x)}$ 일 때, $y^{'} = \frac{f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x)}{g (x)^{2}}$

이야. 굉장히 어려워 보입니다.

그런데 사실 잘 보면 분자 부분이 익숙하다는 사실을 발견할 수 있습니다. 곱의 미분법과 유사한 형태를 띄고 있죠. 다만 마이너스로 연결되었기 때문에 순서에 주의하셔야 합니다.

분모는 뭐.... 간단하니 그냥 외울 수 있겠네요.

증명은, 역시나 똑같이 $f (x)$ 대신에 $\frac{f (x)}{g (x)}$ 를 대입하고 계산하시면 됩니다. 다만 이 방법은 엄청난 계산노가다를 요하므로(...) 저는 다른 방식으로 증명해보겠습니다.

우선 $\frac{1}{g (x)}$ 을 미분할 겁니다. $f (x)$ 대신에 $\frac{1}{g (x)}$ 을 집어넣으면 되겠죠.

$y^{'} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{g (x + h)} - \frac{1}{g (x)}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{g (x) - g (x + h)}{h g (x) g (x + h)} = \frac{- g^{'} (x)}{g (x)^{2}}$

(입력하는 것도 일이네요. 간단한 산수는 생략했습니다.)

그럼 이제, $\frac{f (x)}{g (x)}$ 를 $f (x) \times \frac{1}{g (x)}$ 로 쪼개놓고, 곱의 미분법을 사용합니다.

(시간이 남아도실 때 한번 계산해보세요. 그렇게 어렵진 않습니다.)

그렇게 계산하면 처음에 적은 그 식이 나옵니다. 이로써 증명완료.

오늘은 수식이 참 많네요. 이 공식들은 여러 가지 미분에 요긴하게 쓰이니까 꼭 기억해두시면 좋을 것 같습니다.

다음 글에서는 '연쇄법칙' (영어로는 Chain Rule)에 대해 알아보겠습니다.