[밀레니엄 난제] 버츠와 스위너톤-다이어 추측-(3)하세-베유 L함수
*저는 전문가가 아닙니다. 가볍게 이해하고 넘어가는 느낌으로 보시는 것을 추천합니다*
*틀린 부분이 있을 수 있습니다*
권장사항 : https://themathematics.tistory.com/11
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나머지
정수론을 공부하신 분이라면 아시겠지만, 어떤 방정식의 정수해를 찾는 데 사용되는 테크닉 중 하나는 '나머지'입니다. 예를 한번 들어보면, $ x^2-3y^2=5 $의 정수해는 없습니다. 그리고 이 사실을 증명하는 데 나머지가 이용됩니다.
우선 양변을 3으로 나눈 나머지를 살펴봅시다. $ x^2 $을 3으로 나눈 나머지는 0,1,2 중 하나죠. $ -3y^2 $은 3의 배수니까 0입니다. 5는 나머지가 2고요. 합쳐보면, (0.1.2중 하나)-(0)=2 입니다. 그러면 당연히 $ x^2 $을 3으로 나눈 나머지는 2여야 합니다.
그런데 $ x^2 $을 3으로 나눈 나머지는 절대로 2일 수가 없습니다.
우선 $ x $가 3의 배수라고 합시다. 그러면 $ x^2 $은 당연히 3의 배수이니 나머지가 0입니다.
$ x $를 3으로 나눈 나머지를 1이라고 하면, $ x=3k+1 $이라고 쓸 수 있는데 제곱하고 3으로 나누면 나머지가 1입니다. $ x=3k+2 $일 때도 마찬가지고요.
그렇다면 $ x^2-3y^2=5 $는 $ x^2 $을 3으로 나눈 나머지가 2여야 성립하는데, 절대로 성립할 수 없으니 답이 없는 것입니다.
이런 나머지들의 조건을 '국소적 조건' 이라고 합니다.
국소적 조건은 방정식뿐 아니라 함수에도 적용할 수 있습니다. 어디 한번 타원곡선에 적용시켜 봅시다.
$$ y^2=x^3-x $$
이 타원곡선에서 3에 대한 국소적 조건으로 해를 구해 봅시다. 해를 구하면 다음과 같습니다.
$ (0,0), (1,0), (2,0) $
이 해를 잘 살펴보면 (0,0) 과 (1,0)은 대입하면 멀쩡한 등식이 나오는 데 반해 (2,0)은 6=0이라는 괴상한 등식이 나오는 것을 확인할 수 있습니다. 이런 괴상한 식이 나오는 이유는 3에 대한 국소적 조건으로 해를 구했기 때문입니다. 국소적 조건이 뭐죠? 나머집니다. 즉 우리는 3에 대한 나머지로 해를 구한 것입니다.
6=0의 양변을 3으로 나눈 나머지를 살펴보면 0=0으로 정상적인 등식이 성립함을 알 수 있습니다.
여하튼 수학자들은 이런 국소적 조건들을 조합하면 타원곡선의 유리수점을 대충 파악할 수 있지 않을까? 하는 생각을 하게 됩니다. 그래서 국소적 조건들을 조합하기에 이릅니다.
그런데 디리클레라는 수학자가, 하세-베유 L함수 (타원곡선 E와 변수 s가 있는 이변수 함수입니다) 에서 s=1일때의 형태와 국소적 조건들이 조합된 형태가 비슷하다는 것을 발견합니다. 그리고 그 근의 차수가 유리수점과 일치한다는 사실까지도 밝힙니다.
여기까지의 장황한 내용을 한마디로 정리하면 다음과 같습니다.
'나머지를 이용해서 추측한 타원곡선의 유리수점은 하세-베유 L함수라는 어떤 이상한 함수에서 s=1일때의 형태와 같다'
제목은 하세-베유 L함순데 설명은 여기서 끝입니다. 대수기하학을 전공하지 않아서 죄송합니다.
버츠와 스위너톤-다이어 추측
수체 K 위에서의 타원곡선 E의 모델-베유 군 $ E(k) $의 계수는 E의 하세-베유 L함수 $ L(E,s) $가 s=1에서 가지는 근의 차수와 같다
그러면 이제 이해하기가 한결 쉬워졌습니다. 어떤 타원곡선 E에서 모델-베유 군 $ E(k) $의 계수는 타원곡선의 유리수점의 개수를 뜻하고, 하세-베유 L함수 $ L(E,s) $가 s=1에서 가지는 근의 차수는 나머지를 이용해 추측한 타원곡선의 유리수점의 개수입니다. 즉 다시 쓰면,
타원곡선의 유리수점의 개수는 나머지를 이용해 추론한 유리수점의 개수와 일치한다.
가 버츠와 스위너톤-다이어 추측의 내용이 되겠습니다.