[밀레니엄 난제] 버츠와 스위너톤-다이어 추측-(2)모델-베유 군
*저는 전문가가 아닙니다. 가볍게 이해하고 넘어가는 느낌으로 보시는 것을 추천합니다*
*틀린 부분이 있을 수 있습니다*
권장사항 : https://themathematics.tistory.com/11
지난 글에서 버츠와 스위너톤-다이어 추측은 타원곡선 위의 유리수점에 관심을 갖는다는 것까지 설명했습니다. 그럼 이제 타원곡선의 유리수점에 대해 다룰 차례입니다.
타원곡선의 유리수점
당연하게도 넓은 실수의 밭에서 유리수점들을 찾기란 쉽지 않습니다. 거의 모래밭에서 바늘찾기죠. 수학자들은 바늘을 쉽게 찾기 위해 타원곡선의 다양한 성질을 발견했습니다. 그리고 타원곡선의 유리수점이 '더할 수 있는' 재밌는 구조를 취하고 있다는 것을 밝혔습니다.
당연하게도 이런 의문이 생깁니다. '숫자도 아닌 점을 어떻게 더하나?'
위 함수에서 유리수점 A,B를 표시해보았습니다. 그리고 두 점을 잇는 직선을 그었죠. 그러면 타원곡선과의 교점이 하나 더 생기게 될 것입니다. 그런데.... 이렇게 생긴 교점이 유리수점입니다. 정확히 말하면 (A+B)의 연산을 통해서 나온, '더해진' 유리수점이죠. 당연히 타원곡선은 x축 대칭이니 C를 x축에 대칭시킨 점도 유리수점입니다.
그리고 이런 유리수점들을 모두 모으면 군 $ E(Q) $를 이룹니다. 이를 '모델-베유 군'이라고 합니다. (군이 뭐냐.... 집합의 확장 버전 정도로 생각하면 됩니다. 원래는 훨씬 복잡하지만 이 정리를 이해하는 데는 이 정도만 있어도 됩니다.)
무한점과 계수
그러면 자연스럽게 떠오르는 의문. 이 점들을 계속 더하면 타원곡선의 유리수점은 무한개인가? 하는 것입니다. 하지만 '모델-베유 정리'에 의해 타원곡선의 유리수점은 유한개라는 것이 이미 증명되었습니다.
그런데 이런 재밌는 성질을 발견하고 신나게 연구하던 와중.... 이상한 무언가가 발견됩니다.
두 유리수점을 이었는데, 교점이 없습니다. 즉 y축에 평행한 것이죠. 그러면 이런 경우에는 유리수점을 더할 수 없는 것일까요?
이런 경우에는, '무한점' 이라는 유리수점이 있다고 봅니다. $ (\infty,\infty) $라는 가상의 유리수점을 생각하는 것이죠. 물론 진짜 유리수점은 아닙니다.
여하튼 무한점이 있음으로써 타원곡선에서의 자유로운 연산이 가능해졌습니다. 이렇게 문제가 해결되고 나면 또다른 문제가 떠오릅니다.
'타원곡선의 유리수점은 몇 개인가?'
그래서 만든 개념이 '계수'입니다. 계수는 타원곡선의 유리수점의 개수를 뜻합니다(물론 무한점은 빼고요) 즉 다시 말해, 계수는 타원곡선의 유리수점이 얼마나 많은지를 나타내는 지표입니다.
그럼 버츠와 스위너톤-다이어 추측 중 절반을 설명했습니다. 이제 하세-베유 L함수만 남았네요.(이 함수는 너무 어려워서 저도 자세히는 모릅니다. 자세히 알고 싶은 분은 대학원에서 대수기하학을 전공하시길...)