[밀레니엄 난제] 버츠와 스위너톤-다이어 추측-(1) 타원곡선
*저는 전문가가 아닙니다. 가볍게 이해하고 넘어가는 느낌으로 보시는 것을 추천합니다*
*틀린 부분이 있을 수 있습니다*
권장사항 : 삼차함수
이름부터 자신이 어렵다는 것을 티내고 있는 '버츠와 스위너톤-다이어 추측'은 밀레니엄 7대 난제 중 하나입니다. 당연하게도 맞추면 11억원을 벌 수 있습니다. 다른 방법으로 버는 게 더 빠를 것 같긴 하다만
우선 이 추측의 내용을 봅시다.
수체 K 위에서의 타원곡선 E의 모델-베유 군 $ E(k) $의 계수는 E의 하세-베유 L함수 $ L(E,s) $가 s=1에서 가지는 근의 차수와 같다.
네, 당최 한마디도 못 알아듣겠네요.
버츠와 스위너톤-다이어 추측은 밀레니엄 난제 중에서도 일상 용어와 관련이 거의 없는 문제입니다. 이런 문제를 한번에 이해하기에는 무리가 있을 듯 하니 타원곡선부터 알아봅시다.
타원곡선
이름과는 다르게 타원과는 전혀 관련이 없는 타원곡선은 이렇게 생겼습니다.
$$ E : y^2=x^3+ax+b $$
보시면 X이차항이 없는데 원래는 있습니다. 대수적 변형을 약간 거치면 없앨 수 있기 때문에 이차항을 굳이 쓰지 않는 겁니다. (대수적 변형을 어떻게 하는지는 저도 모릅니다.... 3차방정식의 근의 공식 유도할때 쓰는 것 비슷한 방법을 쓰는 것 같긴 한데 자세한건 모르겠습니다) 여하튼 이런 대수적 변형을 할 때 삼차방정식이 중근을 가지면 쓸 수가 없습니다. 그래서 중근을 갖지 않도록 조건을 추가해줍니다.
$$ E : y^2=x^3+ax+b (4a^3+27b^2\ne0) $$
실제로 이런 a, b가 얼마나 있을지는 모르겠지만 그냥 넘어가도록 합시다.
여하튼 그래프를 그리면 이렇게 타원과 전혀 상관없는 형태가 나옵니다.
아니 이렇게 나오기도 합니다.
아니 이렇게도 나오는군요
아니 도대체 어떻게 나온다는 거야
이렇게 다양한 형태가 나오는 이유는 그리는 방법 때문입니다.
어떻게 그리냐... 우선 $ y^2 $을 $ t $로 치환하겠습니다. 그럼 삼차함수가 나오겠죠?
예시로 $ t=x^3+x $를 가져와봤습니다.
그런데 삼차함수를 보면 음수가 되는 부분이 있습니다. 이런 부분은 제곱근을 취할 수 없겠죠.(제곱근을 왜 취하냐... $ y^2 을 t $로 치환했기 때문입니다.) 그래서 이런 부분은 사라집니다.
또 제곱근을 취하면 음수와 양수 2개가 나오므로 X축 대칭의 형태가 나타납니다.
그러면 이런 그래프가 나옵니다.
그럼 이제 왜 그렇게 다양한 형태가 나오는지 이해가 되실 겁니다. 삼차함수마다 X축과 만나는 방법(접한다, 3점에서 만난다 등등....)이 천차만별이기 때문이죠.
이 문어에서 X축 아래를 떼어놓고 보면 근이 1개인 삼차함수처럼 생기지 않았나요? 실제로 그렇습니다. 이렇듯 타원곡선은 계수에 따라 그래프가 변화무쌍합니다.
버츠와 스위너톤-다이어 추측에서는 다른 건 관심없고 타원곡선의 유리수점에 대해 다룹니다. 이에 대해서는 2편에서 설명하도록 하겠습니다.